BAB 4 MODEL MATEMATIK SISTEM FISIK

4-1 PENDAHULUAN

Beberapa sistem dinamik seperti mekanik, termal, hidraulik, ekonomi, biologi, dan sebagainya, dapat dikarakteristikkan dengan persamaan diferensial. Respon suatu sistem dinamik terhadap suatu masukkan (atau fungsi penggerak) dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial tersebut. Persamaan tersebut dapat diperoleh  dengan menggunakan beberapa hukum fisika yang berlaku pada sistem yang ditinjau, misalnya, hukum Newton untuk sistem mekanik, hukum Khirchoff untuk sistem listrik,d an sebagainya.

Model Matematik. Deskripsi matematik dari karakteristik dinamik suatu sistem disebut model matematik. Langkah pertama dalam analisis suatu sistem dinamik adalah menurunkan modelnya. Harus selalu kita ingat bahwa menurunkan model matematik yang masuk akal adalah bagian yang paling penting dari keseluruhan analisis dan sintesis.

Model dapat disajikan dalam beberapa bentuk yang berbeda. Bergantung pada sistem dan sekeliling (circumstance) yang ditinjau, suatu penyajian matematik mungkin lebih cocok daripada bentuk penyajian yang lain. Sebagai contoh, dalam persoalan kontrol optimal, seringkali lebih mudah untuk menggunakan seperangkat persamaan diferensial orde pertama.

Penyerderhanaan lawan (versus) ketelitian. Dalam mencari suatu model, kita harus mengkompromikan antara penyerderhanaan model dan ketelitian hasil analisis. Perhatikan bahwa hasil yang diperoleh dari analisis hanya berlaku sampai suatu derajat tertentu dari pendekatan model pada sistem fisik yang ditinjau.

Kecepatan komputer digital dalam melakukan operasi aritmatika memungkinkan kita untuk menggunakan pendekatan baru dalam merumuskan model matematik. Dengan alat bantu tersebut kita tidak hanya terbatas pada model yang sederhana, karena jika diperlukan kita dapat melibatkan beberapa ratus persamaan untuk menggambarkan suatu sistem secara lengkap. Akan tetapi, jika tidak diperlukan ketelitian yang sangat tinggi, lebih disukai untuk hanya mencari model yang disederhanakan secara layak.

Dalam menurunkan model yang disederhanakan tersebut, seringkali kita merasa perlu untuk mengabaikan suatu sifat fisis dari sistem. Terutama jika diinginkan model matematik linier parameter terkumpul (yaitu suatu model yang menggunakan persamaan diferensila biasa), maka selalu diperlukan untuk mengabaikan suatu ketidaklinieran dan parameter terdistribusi (paramater yang menimbulkan persamaan diferensial parsial) yang mungkin terdapat pada sistem fisik yang ditinjau. Jika pengaruh sifat-sifat yang diabaikan pada respon adalah kecil, maka akan diperoleh kesesuaian yang baik antara hasil analisis model matematik dan hasil studi eksperimenl pad asistem fisik.

Pada umumnya, dalam menyelesaikan suatu persoalan baru, pertam kali diinginkan untuk membuat model yang disederhanakan sedemikian rupa sehingga diperoleh gambran umum dari jawaban soal. Selanjutnya dapat dibuat model matematik yang lebih lengkap untuk analisis yang lebih lengkap.

Kita harus benar-benar menyadari kenyataan bahwa suatu model linier parameter terkumpul yang berlaku pada operasi frekuensi rendah, mungkin tidak berlaku pada frekuensi tinggi karena sifat parameter terdistribusi yang diabaikan menjadi suatu bagian yang penting dari perilaku dinamik sistem. Misalnya, massa suatu pegas dapat diabaikan pada operasi frekuensi rendah tetapi akan menjadi suatu sifat yang penting dari sistem pada frekuensi tinggi.    

Sistem linier. Sistem linier adalah suatu sistem yang mempunyai persamaan model yang linier. Suatu persamaan diferensial adalah linier jika koefisiennya adalah konstan atau hanya merupakan fungsi dari variabel bebasnya. Sifat yang paling penting dari sistem linier adalah berlakunya prinsip superposisi. Prinsip superposisi menyatakan bahwa respon yang dihasilkan oleh pengguna secara serentak dua buah fungsi penggerak yang berbeda adalah sama dengan jumlah dari buah respon individualnya. Oleh karenanya, pada sistem linier, respon terhadap tiap-tiap masukkan dan menjumlahkan hasilnya. Prinsip ini memungkinkan kita untuk menyusun jawab yang kompleks pada persamaan diferensial linier dari beberapa jawab yang sederhana.

Pada penyelidikan sistem dinamik secara eksperimental, jika sebab dan akibat adalah sebanding, jadi berlaku prinsip superposisi, maka sistem tersebut dapat dianggap linier.

Sistem linier parameter konstan (time invariant) dan sistem linier parameter berubah (time varying). Sistem dinamik linier yang terdiri dari  beberapa komponen parameter konstan terkumpul dapat digambarkan dengan persamaan diferensial linier parameter konstan. Sistem semacam itu disebut sistem linier time invariant (atai linier koeficien konstan). sistem yang dinyatakan oleh persamaan diferensial yang koefisiennya merupakan fungsi dari waktu disebut sistem linier time-varying (atau linier parameter berubah). Sebagai contoh sistem kontrol parameter berubah adalah sistem kontrol pesawat ruang angkasa.(massa pesawat berubah karena konsumsi bahan bakar, dan gaya gravitasi berubah karena penggerakan pesawat yang menjauhi bumi).

Sistem nonlinier. Sistem nonlinier adalah sistem yang dinyatakan oleh persamaan nonlinier. Beberapa contoh persmaan nonlinier adalah

y = sin x

y = x²

z = x² + y²

(pada persamaan  terakhir , z adalah suatu fungsi nonlinier dari x dan y).

Suatu persamaan diferensial disebut nonlinier jika tidak berlaku prinsip superposisi. Beberapa contoh persamaan diferensial non linier adalah

Walaupun beberapa hubungan fisik seringkali dinyatakan dengan persamaan linier, tetapi dalam kebanyakan kasus hubungan yang sebernanya adalah tidak benar-benar linier. Pada kenyataannya, suatu studi sistem fisik yang cermat menyatakan bahwa ‘’sistem linier’’ hanya benar-benar linier pada daerah kerja yang terbatas. Dalam praktek, beberapa sistem elektromekanik, sistem hidraulik, sistem pneumatik, dan sebagainya, melibatkan hubungan nonlinier diantara beberapa variabel. Sebagai contoh, keluaran suatu komponen dapat mengalami saturasi untuk sinyal  masukkan yang besar. Mungkin terjadi suatu ruang mati (dead space) yang mempengaruhi sinyal-sinyal kecil. (ruang mati suatu komponen adalah daerah  kisaran kecil dan variasi masukkan dimana komponen tidak peka). Ketidak limnieran hukum kuadrat dapat terjadi dalam beberapa komponen. Misalnya peredam yang digunakan pad asistem fisik mungkin linier untuk operasi kecepatan rendah tetapi menjadi nonlinier pada kecepatan tinggi, dan redaman mungkin menjadi sebanding dengan kuadrat dari kecepatan kerja. Beberpa contoh kurva karakteristik ketidak linieran ini ditunjukkan pada gambar 4-1.

Gambar 4-1. Kurva karakteristik beberapa ketidaklinieran

Perhatikan bahwa beberapa sistem kontrol yang penting adalah nonlinier untuk setiap ukuran sinyal. Sebagai contoh, pada sistem kontrol dua posisi (on-off) aksi pengontrolan adalah “on” dan “off” dan tidak terdapat hubungan yang linieran antara masukkan dan keluaran kontroller.

Karakteristik yang paling penting dari sistem nonlinier adalah tidak berlakunya prinsip superposisi. Prosedur untuk mencari jawab persoalan yang melibatkan prinsip superposisi. Prosedur untuk mencari jawab persoalan yang melibatkan sistem non linier ini, kita merasa  perlu untuk memperkenalkan sistem linier “ekuivalen” untuk menggantikan sistem nonlinier. Sistem linier ekuivalen semacam itu hanya berlaku pada daerah kerja yang terbatas. Setelah sistem nonlinier didekati dengan model matematik linier, maka dapat digunakan sejumlah alat bantu linier untuk analisis dan desain. Dalam buku ini kita memperkenalkan beberapa teknik linierisasi.

4-2 FUNGSI ALIH

Dalam teori kontrol, fungsi yang disebut “fungsi alih” seringkali digunakan untuk mencirikan hubungan masukkan-keluaran dari sistem linier parameter konstan. Konsep fungsi alih hanya digunakan pada sistem linier parameter konstan, walaupun dapat diperluas untuk suatu sistem kontrol nonlinier.

Fungsi Alih. Fungsi alih sistem linier parameter konstan didefinisikan sebagai perbandingan dari transformasi Laplace masukkan (fungsi penggerak), dengan anggapan bahwa semua syarat awal adalah nol.

Tinjau sistem linier parameter konstan yang didefiniskan persamaan diferensial berikut:

                          

dimana y adalah keluaran sistem dan x adalah masukkan. Fungsi alih dari sistem ini diperoleh dengan mencari transformasi Laplace dari kedua ruas persamaan (4-1), dengan menganggap bahwa semua syarat adalah nol atau

Fungsi alih adalah suatu ekpresi yang merelasikan keluaran dana masukkan suatu sistem linier parameter konstan dalam bentuk parameter konstan dalam bentuk paramter sistem dan merupakan sifat dari sistem itu sndiri, tidak bergantung pada fungsi masukkan atau penggerak. Fungsi alih mencakup satuan-satuan yang diperlukan untuk merelasikan masukkan dengan keluaran; meskipun demikian, fungsi alih tidak memberikan informasi mengenai stuktur fisik dari sistem. (fungsi alih dari beberapa sistem fisik yang berbeda mungkin identik).

Dengan menggunakan konsep ini, kita dapat menyatakan dinamika sistem dengan beberapa persamaan aljabar dalam s. Pangkat tertinggi dari s  pada penyebut fungsi alih sama dengan orde suku turunan tertinggi dari keluaran. Jika pangkat tertinggi dari s tersebut adalah n, maka sistem tersebut sistem orde ke n.

Sistem translasi mekanik. Tinjau sistem pegas massa daspot yang ditunjukkan pada gambar 4-2. Daspot adalah suatu perangkat yang menimbulkan gaya viskos atau redaman. Perangkat ini terdiri sebuah torak dan silinder isi minyak. Setiap gerakan relatif antara batang torak dan silinder dilawan oleh minyak karena minyak tersebut harus mengalir disekitar torak atau melalui orifis yang terdapat pada torak dari suatu sisi torak ke sisis yang lain. Pada dasarnya daspot menyerap energi. Energi yang diserap ini didisipasikan sebagai panas, sehingga daspot tidak menyimpan energii kinetik potensial.

Gambar 4-2. Sistem pegas-massa-daspot

Marilah kita cari fungsi alih dari sistem ini dengan menganggap  bahwa gaya x(t) sebagai masukkan dan perpindahan y(t)  dari massa sebagai keluaran. Kita akan mengikuti langkah-langkah berikut:

1.      Menulis persamaan diferensial dari sistem

2.      Mancari transformasi Laplace dari persamaan diferensial dengan menganggap bahwa semua syarat awal nol.

3.      Mencari perbandingan dari keluaran Y(s)dan masukkan X(s) perbandingan ini adalah fungsi alih yang dicari.

Untuk menurunkan persamaan diferensial linier parameter konstan, marilah kita anggap bahwa gaya gesekan daspot berbanding lurus dengan y. Pada sistem ini m menyatakan massa, f menyatakan koefisien gesekan viskos, dan k  menyatakan konstanta pegas.

Hukum dasar yang berlaku pada sistem mekanik adalah hukum Newton, untuk sistem translasi, hukum tersebut menyatakan bahwa

ma = ∑F

Dimana

m = massa, kg; a =  percepatan,m/dt²; f = gaya, N

Kg adalah satuan massa (Kg = N-deet²/m). Jika dikenai gaya 1 N, massa 1 Kg akan megalami percepatan 1 m/det²

Dengan menerapkan hukum Newton pada sistem tersebut diatas, kita peroleh

atau

Dengan mencari transformasi Laplace tiap suku persamaan (4-2) diperoleh

Jika kita tentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehingga y(0) = 0, y(0) =0, maka transformasi Laplace dari persamaan (4-2) dapat ditulis

Dengan mencari perbandingan Y(s) dan X(s) , kita peroleh fungsi alih dari sistem

Sitem rotasi mekanik. Tinjau sistem yang ditunjukkan pada gambar 4-3. Sistem tersebut terdiri dari inersia beban dan peredam gesekan viskos. Definisi

J = momen inersia beban, kg-m²

f = koefisien gesekan viskos, N-m/rad/det

Ѡ = kecepatan sudut, rad/det

T = torsi yang dikenakan pada sistem, N-m

Untuk sistem rotasi mekanik, hukum Newton menyatakan bahwa

Jα = ∑T

Dimana:           J =momen inersia, kg-m²

α =percepatan sudut, rad/det² 

T = torsi, N-m

Satuan konsisten massa, momen inersia, torsi

Massa	Momen inersia	Torsi
Slug	Slug-ft2	lb-ft
Gram	gm-cm2	dyne-cm
Kilogram	Kg-m2	Newton-m

Dengan menerapkan hukum Newton pada sistem yang sedang ditinjau, kita peroleh

J Ѡ + f Ѡ = T

Dengan mengganggap bahwa torsi T yang dikenakan adalah masukkan dan kecepatan sudut Ѡ dalah keluaran, maka fungsi alih daeri sistem ini diperoleh sebagai berikut:

Dimana                       

 

Rangkaian L-R-C. Tinjau rangkaian listrik yang ditunjukkan pada gambar 4-4. Rangkaian tersebut terdiri dari suatu induktansi L (henry), suatu tahanan R (ohm), dan suatu kapasitansi C (farad). Dengan menerapkan hukum Khirchoff pada sistem yang sedang ditinjau, kita peroleh persamaan berikut:

Gambar 4-4. Rangkaian listrik

Dengan mencari transformasi Laplace dari persamaan (4-3) dan (4-4), dengan menganggap syarat awal nol, kita peroleh

Jika е₁ dianggap sebagai masukkan dan е₀ sebagai keluaran, maka fungsi alih dari sistem ini diperoleh sebagai berikut :

Impedansi kompleks. Dalam menurunkan fungsi alih rangkaian listrik, seringkali kita rasakn lebih muda untuk menuliskan persamaan dalam bentuk transformasi Laplace secara langsung, tanpa menuliskan persamaan diferensialnya. Tinjau sistem yang ditunjukkan pada gambar 4-5(a). Pada sistem ini, Z₁ dan Z₂ menyatakan impedansi kompleks. Impedansi kompleks dari suatu rangkaian dua terminal adalah perbandingan antara E(s), tranformasi Laplace dari tegangan listrik pada terminal tersebut, dengan I(s),transformasi Laplace dari arus listrik yang melalui elemen tersebut, dengan anggapan bahwa semua syarat awal adlah nol, sehingga Z(s) = E(s)/I(s). Jika elemen dua terminal tersebut adalah suatu tahanan R, kapasitansi C, atau induktasniL, maka impedansi kompleks dari elemen tersebut masing-masing diberikan oleh R, 1/Cs, atau Ls. Jika impedansi kompleks dihubungkan secara seri, maka im-edansi totalnya sama dengan jumlah masing-masing impedansi kompleks tersebut.

Tinjua rangkaian yang ditunjukkan pada gambar 4-5(b). Anggap bahwa tegangan е₁ dan е₀ , masing-masing adalah masukkan dan keluaran rangkaian. Fungsi alih rangkaian ini adalah

Gambar 4-5 rangkaian listrik(a) dan (b)

untuk  sistem yang ditunjukkan pada gambar 4-4

oleh karenanya, fungsi alih E0(s)/E1(s) dapat diperoleh sebagai  berikut

yang tentu saja identik dengan persamaan (4-5)

Elemen pasif dan elemen aktif. Beberpaa elemen dalam suatu sistem (misal, kapasitansi dan induktansi dalam sistem listrik) menyimpan energi. Energi ini kemudian diberikan ke dalam sistem. Jumlah energi yang diberikan tidak dapat melebihi jumlah energi yang tersimpan dalam elemen, dan jika elemen ini sebelumnya tidak menyimpan energi, maka elemen ini sama sekali tidak memeberikan energi kepada sistem. Oelh karena itu, elemen pasif disebut sistem pasif. Contoh elemen pasif adalah kapasitansi, tahanan, dan induktansi, massa, inersia, peredama, dan pegas. Untuk elemen pasif, setiap suku dalam persamaan diferensial sistem homogen mempunyai tanda yang sama.

Elemen fisik yang dapat memberikan energi eksternal ke dalam sistem disebut elemen aktif. Sebagai contoh, penguat adalah suatu elemen aktif karena mempunyai satu daya dan memberikan daya kepada sistem. Sumber-sumber gaya, torsi, atau kecepatan eksternal; sumber-sumber arus atau tegangan; dan sebagai; juga merupakan elemen-elemen aktif.

Analaogi gaya tegnagan. Tinjau sistem mekanik yang ditunjukkan pada gambar 4-6(a) dan sistem listrik yang ditunjukkan pada gambar 4-6(b). Persamaan diferensial untuk sistem mekanik ini adalah

Gambar 4-6. (a) sistem mekanik; (b) sistem listrik analoginya

Sedangkan persamaan diferensial untuk sistem listrik tersebut adalah

Dalam bentuk muatan lsitrik q. Persamaan yang terakhir ini menjadi

Dengan membandingkan persamaan (4-6) dan (4-7), kits lihst bahwa persamaan diferensial kedua sistem tersebut mempunyai bentuk yang identik. Sistem semacam itu disebut sistem sekias (analog), dan suku-suku yang menempati posisi-posisi yang sama disebut besaran sekias.

Tabel 4-1 BESARAN-BESARAN SEKIAS DALAM ANALOGI GAYA TEGANGAN

Sistem Mekanik	Sistem listrik
Gaya p (torsi T) Massa m (momen inersia j) Koefisien gesekan viskos f Konstanta pegas k Perpindahan x (perpindahan sudut Ө) Kecepatan x i(kecepatan sudut  Ө)	Tegangan е Induktansi L Tahanan R Kebailkan kapasitansi 1/C Muatan q Arus i

 Gambar 4-7 menunjukkan beberapa contoh sistem sekias. Tiap sistem listrik dan sistem mekanik anlaoginya mempunyai fungsi alih yang identik. (Pada gambar 4-7, x₁ dan x₂ menyatakan perpindahan). Perhatikan bahwa dalam menrunkan fungsi alih, kita anggap bahwa sistem yang ditinjau adalah sistem dengan parameter terkumpul dan tidak ada pengaruh pembebanan pada keluaran.

Gambar 4-7. Sistem dan analoginya

 Analogi gaya-arus. Bentuk analogi lain sangat berguna antara sistem listrik dan sistem mekanik adalah analogi gaya-arus. Tinjau sistem mekanik yang ditunjukkan pada gambar 4-8(a). Persamaan diferensial yang melukiskan sistem ini adalah

Kemudian tinjau sistem listrik yang ditunjukkan pada gambar 4-8(b). Dengan menggunakan hukum arus dari khirchoff, kita peroleh

Dimana

Gambar 4-8. (a) sistem mekanik; (b) sistem listrik

Persamaan (4-9) dapat ditulis

Perhatikan bahwa fluks magnetik gandeng ѱ direalisasikan dengan е oleh persamaan berikut:

Dalam bentuk ѱ persamaan (4-10) dapat ditulis sebagai berikut:

Dengan membandingkan persamaan (4-8) dan (4-11), kita peroleh bahwa dua sistem tersebut adalah sistem sekias. Beberapa besaran sekias diberikan pada tabel 4-2. Di sini analogi tersebut disebut analogi gaya-arus.

Tabel 4-2 BESARAN-BESARAN SEKIAS DALAM ANALOGI GAYA ARUS

Sistem Mekanik	Sistem listrik
Gaya p (torsi T) Massa m (inersia j) Koefisien gesekan viskos f Konstanta pegas k Perpindahan x (perpindahan sudut Ө) Kecepatan x (kecepatan sudut  Ө)	Arus  i Kapasitansi C Kebalikan dari tahanan 1/R Kebailkan dari induktansi 1/L Fluks magnetik gandeng ѱ Tegangan е

Sistem sekias.  Konsep sistem sekias sangat berguna dalam praktek karena satu jenis sistem dapat ditangani secara eksperimental dengan lebih mudah daripada jenis yang lain. Sebagai contoh, untuk mengkaji sistem mekanik, kita dapat membuat dan mengkaji sistem listrik analoginya, karena pada umumnya sistem listrik atau elektronik secara eksperimental jauh lebih mudah ditangani. Khusunya komputer analog elektronik, yang cukup memadai untuk mensimulasikan baik sistem mekanik maupun sistem fisik laiinnya.

Harus diingat bahwa analogi antara dua sistem menjadi tidak berlaku jika daerah kerjanya diperluas hingga terlalu lebar. Dengan kata lain, karena persamaan diferensial yang mendasari analogi hanya merupakan pendekatan dari karakteristik dinamik sustu sistem fisik, maka mungkin analogi menjadi tidak berlaku jika daerah kerja salah satu sistem sangat lebar, kemungkinan dapat diabgi menjadi dua atau lebih daerah yang lebih kecil, sebenarnya analogi tidak terbatas pada sistem listrik dan sistem mekanik; analogi dapat diterapkan pada setiap sistem yang mempunyai bentuk persamaan diferensial atau fungsi alih yang identik.

Gambar 4-9. Sistem listrik

Fungsi alih dari elemen-elemen yang dihubungkan seri. Beberapa sistem berumpan balik mempunyai komponen-komponen yang saling membebani. Tinjau sistem yang ditunjukkan pada gambar 4-9. Anggap bahwa еi adalah masukkan dan е0 adalah keluaran. Pada sistem ini rangkaian tingkat kedua (bagian R₂C₂) menimbulkan pengaruh pembebanan pada rangkaian tingkat pertama  (bagian R₁C₁). Persamaan untuk sistem ini adalah

Dan

Dengan mengeliminasi I₁(s) dan I₂(s) dari persaman (4-14) dan (4-15) kita peroleh bahwa fungsi alih antara E₀(s) dan E₂(s) adalah

Dengan mancari transformasi Laplace dari persamaan (4-12) dan (4-13), dan menganggap bahwa syarat awal sama dengan nol, kita peroleh

Bentuk R₁C₂s pada penyebut dari fungsi alih menyatakaninteraksi dua rangkaian RC sederhana. Karena (R₁C₁ + R₂C₂+ R₁C₂) ² >4 R₁C₁ R2C2, maka dua akar dari penyebut persamaan (4-16) adalah nyata.

Analisis ini menunjukkan bahwa jika dua buah rangkaian RC dihubungkan seri, sedemikian rupa sehingga keluaran rangkaian pertama menjadi msukkan rangkaian kedua, maka fungsi alih keseluruhan tidak sama dengan hasilkali antara 1/( R₁C₁s +1) dengan 1/( R₂C₂s +1). Alasannya adalah bahwa pada waktu kita anggap bahwa keluaran tidak dibebani. Dengan kata lain, impedansi beban dianggap tak terhingga, yang berarti bahwa tidak menyerap daya pada kelauran rangkaian pertama, maka sejumlah teretentu daya akan diserap sehingga anggapan bahwa tidak ada pembebanan tidak dipenuhi. Oleh karena itu, jika fungsi alih sistem ini tidak berlaku. Derajat pengaruh pembebanan menentukan besarnya modifikasi fungsi ailh.

Fungsi alih elemen-elemen yang dihubungkan seri tanpa pembebanan. Fungsi alih suatu sistem yang terdiri dari dua buah elemen yang dihubung seri tanpa pembebanan dapat diperoleh dengan mengeliminasi masukan dan keluaran madya. Sebagai contoh, tinjau sistem yang ditunjukkan pada gambar 4-10(a). Fungsi alih masing-masing elemen adalah

Gambar 4-10. (a) sistem yang terdiri dari dua buah elemen yang dihubung seri tanpa pembebanan; (b) suatu rangkaian pengganti

Jika impedasni masukkan dari elemen kedua adalah tak terhingga, maka keluaran elemen pertma tidak dipengaruhi oleh penggandengan elemen pertama dengan elemen kedua. Selanjutnya fungsi alih dari sistem keseluruhan adalah

Jadi, fungsi alih dari sistem keseluruhan merupakan hasilkali dari fungsi alih msaing-msaing elemen. Ini ditunjukkan pada gambar 4-10(b).

Sebagai contoh, tinjau sistem yang ditunjukkan pada gambar 4-11. Penyisipan sebuah penguat pengisolasian di antara rangkaian-rangkaian utnuk mendapatkan karakteristik tanpa pembebanan seringkali digunakan dalam menghubungkan beberapa rangkaian listrik. Karena baik penguat tabung hampa mempunyai impedansi masukkan yang sangat tinggi, maka penguat pengisolasian yang disispkan di antara dua buah rangkaian akan menguatkan anggapan tanpa pembebanan.

Gambar 4-11. Sistem listrik

Dua buah rangkaian RC sederhana, yang diisolasikan dengan suatu penguat seperti ditunjukkan pada gambar 4-11, mempunyai pengaruh pembebanan yang didapat diabaikan dan fungsi alih rangkaian keseluruhan sama dengan hasilkali dari masing-masing fungsi alih. Jadi, dlaam hal ini,

4.3 LINERISASI MODEL MATEMATIK NONLINEAR

Pasal ini membahas suatu teknik linerisasi yang dapat diterapkan pada beberapa sistem nonlinear. Kita akan menerapkan teknik ini pada motor servo-hidraulik dan mencari fungsi alih untuk motor servohidraulik yang dilinierkan.

Pendekatan linier dari sistem nonlinier. Untuk memperoleh model metematik yang linier dari sistem nonlinier, kita anggap bahwa variabel hanya mengalami deviasi yang kecil dari titik kerjanya. Tinjau suatu sistem yang mempunyai masukkan x(t) dan keluaran y(t.) hubungan antara y(t)  dan x(t) diberikan oleh

Jika kondisi kerja normal dinyatakan dengan   , ӯ, maka persamaan (4-17) dapat diuraikan menjadi suatu deret taylor disekitar titik kerja sebagai berikut

Di mana turunan-turunan df/dx,d²f/dx², . . . dihitung pada x=  . Jika variasi    -   adalah kecil, kita dapat mengabaikan suku-suku (x-x) berorde tinggi. Selanjutnya persamaan (4-18) dapat ditulis

 y = ӯ + K(x=  )        (4-19)

Dimana                        ӯ = f (     )

                         

Persamaan (4-19) dapat ditulis kembali sebagai berikut

y = ӯ + K(x=  )                    (4-20)

Yang menunjukkan bahwa y – y sebanding dengan x- . Persamaan (4-20) memberikan suatu model matemeatik linier untuk sistem nonlinier yang diberikan oleh persamaan (4-17).

Selanjutnya, tinjau sutu sistem  yang keluarannya, y, merupakan fungsi dari dua buah masukkan  ₁ dan  ₂ sedemikian rupa sehingga

Y = f (x₁, x₂)                                  (4-21)

Untuk memperoleh pendekatan linier pada sistem nonlinier ini, kita dapat menguraikan persamaan (4-21) menjadi deret taylor disekitar titik kerja   ₁ dan    ₂  selanjutnya persamaan (4-22) menjadi

Dimana turunan-turunan parsial dihitung pada x₁ =   ₁ , x₂ =   ₂ . didekat titik  kerja normal, bentuk-bentuk orde tinggi dapat diabaikan. Model matematik linier dari sistem nonlinier ini disekitar kondisi kerja normal selanjutnya diberikan oleh

 y = ӯ =K₁ (x1 -  1) + K₂ (x₂   -     2)

Dimana

 ӯ = (    1,   2)

Motor servo hidraulik. Gambar 4-12 menunjukkan suatu motor servo hidraulik. Pada dasarnya motor servo hidraulik merupakan penguat daya hidraulik dengan pengontrolan katup pandu dan aktuator. Katup pandu adalah suatu katup imbang, dalam arti bahwa semua gaya tekan yang bekerja padanya adalah setimbang. Keluaran daya yang sangat besar dapat dikontrol dengan katup pandu yang posisinya dapat disetel dengan daya yang sangat kecil.

Operasi motor servo hidraulik ini adalah sebagai berikut: jika katup pandu digerakkan ke kanan maka lubang I dihubungkan dengan lubang catu, dan minyak bertekanan masuk ke dalam ruang di sebelah kiri torak daya ke luar kembali. Karena lubang II dihubungkan dengan lubang kuras, maka minyak di sebelah kanan torak daya ke luar kembali. Minyak yang mengalir ke dalam silinder daya mempunyai tekanan yang tinggi sedangkan minyak yang ke luar dari silinder daya mempunyai tekanan yang rendah. Beda tekanan yang dihasilkan pada kedua sisi torak akan menyebabkan torak bergerak ke kanan. Minyak yang kembali ke saluran kuras ditekan dengan sebuah pompa kemudian disirkulasikan lagi di dalam sistem. Jika torak pandu digerakkan ke kiri, maka torak daya akan bergerak ke kiri.

Gambar 4-12. Diagram skematik motor servo hidarulik

Dalam praktek, lubang a, b dan c  yang ditunjukkan pada gambar 4-12 seringkali dibuat lebih lebar daripada katup A, B, dan C. Dalam hal ini, selalu terjadi kebocoran pada katup. Hal ini akan memperbaiki baik kepekaan maupun kelinieran motor servo hidraulik. Kita akan menggunkan anggapan ini pada analisis berikut. [perhatikan bahwa seringkalli sinyal dither, yaitu sinyal frekuensi tinggi dengan amplituda yang sangat kecil (dibandingkan dengan perpindahan maksimum dari katup), ditumpangkan pada gerakan katup pandu. Hal ini juga akan memperbaiki kepekaan dan kelinieran. Dalam hal ini juga tedapat kebocoran pada katup]

Marilah kita definisikan

            Q= laju aliran minyak ke silinder daya, kg/det

            ∆P= P² – P¹ = beda tekanan pada torak daya, N/m²

                X = perpindahan katup pandu, m

Pada gambar 4-12, dapat kita lihat bahwa Q merupakan fungsi dari x dan ∆P. Pada umumnya, hubungan antara variabel Q, x dan ∆P diberikan oleh suatu persamaan nonlinier

Q =f (x, ∆P)

Dengan linierisasi persamaan nonlinier ini didekatkan titik kerja normal _____________, kita peroleh

Q – Q = K­₁ ( x-   ) – K₂ (∆P - ∆Ṗ)               (4-22)

Dimana

Q = (       ∆Ṗ)

Perhatikan bahwa untuk sistem ini, kondisi kerja normalnya adalah _____________, sehingga, dari persamaan (4-22) kita peroleh

Q =K₁ x- K₂ x ∆P                                (4-23)

Gambar 4-13 menunjukkan hubungan di antara Q, x, dan ∆P yang dilinierakan ini. Garis-garis lurus yang ditunjukkan adalah kurva karakteristik motor servo hidraulik yang dilinierkan. Keluarga kurva ini dari garis-garis lurus sejajar dengan jarak antara yang sama, dengan parameter x.

Gambar 4-13. Kurva karakteristik motor servo hidraulik yang dilinerkan

Dengan memperhatikan gambar 4-12, kita lihat bahwa laju aliran minyak Q,  (kg/det) kali waktu dt (det) sama dengan perpindahan torak daya dy  (m) kali luas torak A (m²) kali rapat massa minyak ρ (kg/m³). Jadi, kita peroleh

Aρ dy = Q dt

Perhatikan bahwa untuk suatu laju aliran Q, makin besar luas torak A, kecepatan dy/dt akan menjadi semakin kecil. Oleh karena itu, jika luas torak A diperkecil, sedangkan variabel-variabel lainnya konsta, maka kecepatan dy/dt menjadi semakin tinggi. Kenaikkan laju aliran Q juga akan menimbulkan kenaikkan kecpeatan torak daya dan akan membuat waktu respon menjadi lebih singkat.

Sekarang persamaan (4-23) dapat dituliskan sebagai

Gaya dibangkitkan oleh torak daya sama dengan beda tekanan ∆P kali luas torak A atau

Gaya yang dibangkitkan oleh torak daya=A ∆P                        

Untuk suatu gaya maksimum, jika beda tekanan cukup tinggi, maka luas torak, atau volume minyak dalam silinder, dapat dibuat kecil. Akibatnya untuk meminimumkan berat kontroler (pengontrolan), maka tekanan catu harus dibuat cukup tinggi.

Anggap bahwa torak daya memindahkan suaru beban yang terdiri dari massa dan gesekkan viskos. Selanjutnya gaya yang dibangkitkan oleh torak daya dikenakan pada massa dan gesekkan beban, sehingga kita peroleh

Atau

Dimana m  adalah massa (kg-det²/m) dari beban dan f adalah koefisien gesekan viskos (N-det /m).

Dengan menganggap bahwa perpindahan x dari katup pandu (pilot-valve) adalah masukkan dan perpindahan y dari  torak daya adalah keluaran, dari persamaan  (4-24) kita peroleh bahwa fungsi alih untuk motor servo hidraulik adalah

Dimana

Dari persamaan (4-25), dapat kita lihat bahwa fungsi alih merupakan orde kedua. Jika perbandingan mK₂/(fK₂ + A²ρ)  adalah sangat kecil atau T  dapat diabaikan, maka fungsi alih tersebut dapat disederhanakan menjadi

Suatu analisis lebih lanjut menunjukkan bahwa jika kebocoran minyak, kompresibilitas minyak (meliputi pengaruh udara yang larut di dalamnya), pemuaian perpipaan, dan sebagainya, diperhitungkan, maka fungsi alih menjadi

Dimana T₁ dan T₂ adalah konstanta waktu. Konstanta waktu ini bergantung pada volume minyak dalam rangkaian kerja. Makin kecil volumenya, semakin kecil pula konstanta waktunya.

4-4 DIAGRAM BLOK

Suatu sistem kontrol dapat terdiri dari beberapa komponen. Untuk menunjukkan fungsi yang dilakukan oleh tiap komponen, dalam teknik kontrol, dalam teknik kontrol, biasanya kita menggunakan suatu diagram yang  disebut “diagram blok”.

Diagram blok. Diagram blok suatu sistem adalah suatu penyajian bergambar dari fungsi yang dilkuakn oleh tiap komponen dan sinyalnya. Diagram semacam ini melukiskan hubungan tmbal balik yang ada antara berbagai komponen. Berbeda dengan penyajian matematik yang abstrak belaka. Diagram blok mempunyai keunggulan dalam menunjukkan aliran sinyal yang lebih nyata pada sistem yang sebenarnya.

Dalam suatu diagram blok, semua variabel sistem variabel sistem saling dihubungkan dengan menggunakan blok fungsional. “blok fungsional” atau biasa disebut “blok” adalah suatu simbol operasi matematik pada sinyal masukkan blok yang menghasilkan keluaran. Fungsi alih dari komponen biasanya ditulis di dalam blok, yang dihubungkan dengan anak panah untuk menunjukkan arah aliran sinyal. Perhatikan bahwa sinyal hanya dapat mengalir pada arah yang ditunjukkan oleh anak panah. Jadi, diagram blok suatu sistem kontrol secara eksplisit menunjukkan suatu sifat searah.

Gambar 4-14 menunjukkansuatu elemen diagram blok. Anak panah yang menuju ke blok menunjukkan masukkan dan anak panah yang meninggalkan blok menyatakan keluaran. Anak panah semacam itu dianggap sebagai sinyal.

Gambar 4-14. Elemen diagram blok

Perhatikan bahwa dimensi sinyal keluaran dari blok sama dengan dimensi sinyal masukkan dikalikan dengan dimensi fungsi alih dalam blok.

Keunggulan penyajian diagram blok suatu sistem terletak pada kenyataan bahwa mudah untuk membentuk diagram blok keseluurhan sistem hanya dengan menghubungkan blok-blok komponen  sesuai dengan aliran sinyal dan memungkinkan perhitungan kontribusi tiap komponen pada perfomansi keselruhan sistem.

Pada umumnya, operasi fungsional dari sistem dapat divisualisasikan secara lebih cepat dengan menguji diagram bloknya daripada dengan menguji sistem fisiknya. Diagram blok mengandung informasi perilaku dinamik, tetapi tidak mengandung informasi mengenai konstruksi fisik dari sistem. Oleh karena itu, beberapa sistem yang berbeda dan tidak mempunyai relasi satu sama lain dapat dinayatakan dengan diagram blok yang sama.

Harus diperhatikan bahwa dalam suatu diagram blok bersumber energi utamanya tidak ditunjukkan secara eksplisit, dan juga bahwa diagram blok suatu sistem adalah tidak unik. Suatu sistem dapat digambarkan dengan beberapa diagram blok yang berbeda, bergantung pada titik pandang analisis.

Detektor kesalahan. Detektor kesalahan menghasilkan suatu sinyal yang merupakan selisih antara sinyal masukkan acuan dengan sinyal umapan balik dari sistem kontrol. Dalam desain, pemilihan detektor keslahan adalah cukup penting dan harus diputuskan dengan hati-hati. Hal ini disebabkan oleh setiap adanya ketidaksempurnaan detektor kesalahan yang tanpa dapat dihindari akan mempengaruhi performansi sistem keseluruhan. Penyajian diagram blok dari detektor kesalahan ditunjukkan pada gambar 4-15.

Perhatikan bahwa lingkaran dengan tanda silang adalah simbol yang menunjukkan suatu operasi penjumlahan. Tanda positif atau negatif pada setiap anak panah menunjukkan operasi yang harus dikenakan pada sinyal tersbut, ditambahkan atau dikurangkan. Perhatikan bahwa besaran-besaran yang ditambahkan atau dikurangkan mempunyai dimensi dan satuan yang sama.

Diagram blok sistem lup tertutup. Gambar 4-16 menunjukkan suatu contoh diagram blok sistem lup tertutup. Keluaran C(s) diumpan-balikkan ke titik penjumlahan utnuk dibandingkan dengan masukkan acuan R(s). Sifat lup tertutup dari sistem secara jelas ditunjukkan pada gambar tersebut. Keluaran blok, C(s) dalam hal ini, diperoleh dengan mengalihkan fungsi alih G(s)  dengan masukkan blok, E(s)

Gambar 4-16. Diagram blok suatu lup tertutup

Setiap sistem kontrol linier dapat dinyatakan dengan suatu diagram blok yang terdiri dari beberapa blok, titik penjumlahan, dan  titik cabang. Titik cabang adalah titik, tempat sinyal keluaran blok secara bersamaan menuju ke blok lain atau titik penjumlahan.

Jika keluaran diumpankan-balikkan ke titik penjumlahan untuk dibandingkan dengan masukkan, maka perlu mengubah bentuk sinyal keluaran agar sama dengan bentuk sinyal masukkan. Sebagai contoh, dalam suatu sistem pengontrolan temperatur, sinyal keluarannya biasanya adalah temperatur yang dikontrol. Sinyal keluaran tersebut, yang mempunyai dimensi temperatur, harus diubah menjadi suatu gaya atau posisi, sebelum dibandingkan dengan sinyal masukkan. Pengubah ini dilakukan oleh elemen umpan balik yang mempunyai fungsi alih H(s). Seperti ditunjukkan pada gambar 4-17. Peranan penting lainnya dari elemen upan-balik adalah memodifikasi keluaran sebelum dibandingkan dengan masukkan. Pada contoh ini, sinyal umpan-bailk yang diumpan-balikkan ke titik penjumlahan untuk dibandingkan dengan sinyal masukkan adalah B(s)=H(s)C(s).

Gambar 4-17. Sistem   lup tertutup

Perbandingan antara sinyal umpan balik B(s) dengan sinyal kesalahan penggerak E(s) disebut fungsi alih lup terbuka. Jadi

Perbandingan antara keluaran C(s) dengan sinyal kesalahan penggerak E(s) disebut fungsi alih umpan maju, sehingga