LATAR BELAKANG MATEMATIK – MATRIKS

LATAR BELAKANG MATEMATIK – MATRIKS

A.    PENDAHULUAN

            Dalam menurunkan model matematika sistem kontrol modern, kita banyak menemui bahwa persamaan diferensial yang mungkin cukup rumit, karena keanekaragaman masukan dan keluaran. Untuk menyederhanakan ekspresi matematik persamaan sistem, sebaiknya di gunakan notasi matrik vektor. Sebenarnya, untuk kerja matrik teoritis, penyederhanaan notasi yang di peroleh dengan menggunakan operasi matriks – vektor adalah sangat mudah, terutama untuk analisis dan sintesis kontrol modern.

            Dengan menggunakan notasi matriks – vektor, kita bisa mengerjakan penyelesaian soal yang sangat besar dan rumit dengan mudah dan cepat, karena mengikuti format sistematik untuk menyatakan persamaan sistem dan menghitung dengan komputer.

            Pokok pembahasan pada bab ini adalah memberikan materi kepada mahasiswa mengenai definisi matriks dan aljabar matriks yang diperlukan mahasiswa untuk menyelesaikan atau menganalisis sistem kontrol pada bab selanjutnya.

B.     DEFINISI MATRIKS

            Matriks didefinisikan sebagai suatu susunan segiempat dari elemen – elemen yang dapat berupa bilangan nyata, bilangan kompleks, bilangan fungsi atau operator. Pada umumnya, banyak kolom yang perlu untuk tidak di samakan dengan banyak baris. Tinjauan dari matriks adalah sebagai berikut:

Latar Belakang Matematik – Matriks:

 

Di mana a_ij menyatakan elemen ke (i,j) pada matriks A. Di mana matriks ini mempunyai n baris dan m kolom, sehingga disebut dengan matriks (n x m). Indeks pertama akan menyatakan banyak baris dan pada indeks kedua menyatakan banyak kolom. Pada matriks ini, matriks A sering di tulis (a_ij).

            Kesamaan pada dua buah matriks. Dua buah matriks dikatakan sama, jika dan hanya jika elemen – elemen yang saling berkaitan mempunyai harga yang sama. Perhatikan bahwa matriks – matriks yang sama mempunyai banyak baris dan kolom yang sama juga.

            Vektor. Suatu matriks yang hanya mempunyai satu kolom seperti pada gambar di bawah ini:

[x₁] 

 _[x₂]

.

.

.

.

.

[x_n]

Disebut vektor kolom. Vektor kolom yang memepunyai n elemen disebut juga vektor n atau juga bisa disebut dengan vektor n dimensi. Suatu matriks yang sama hanya mempunyai satu baris seperti pada rumus di bawah ini:

[x₁   x₂ .......... x_n]

Disebut matriks baris.

Matriks persegi adalah suatu matriks yang hanya mempunyai banyak baris yang sama dengan jumlah banyaknya kolom. Pada matriks persegi, sering disebut juga dengan matriks orde n, di mana n menunujukkan jumlah banyak baris dalam vektor tersebut (atau kolom).

           

            Matriks diagonal. Jika elemen – elemen selain elemen diagonal utama pada matriks persegi A adalah nol (0), maka A disebut dengan matriks diagonal, dan ditulis sebagai beikut:

Di mana δ_ij adalah delta Kronecker yang didefinisikan sebagai berikut ini;

Perhatikan bahwa semua elemen – elemen yang tidsk ditulis secara eksplisit dalam matrikstersebut adalah nol (0). Matriks diagonal sering ditulis:

Diag (a_12, a₂₂,...........,a_nn)

Matriks identitas atau matriks satuan. Di mana matriks ini mempunyai satuan I adalah suatu matriks yang elemen diagonal utamanya sama dengan satu (1), sedangkan elemen yang lainnya adalah sama dengan nol (0); atau:  

 

Matriks nol (0) adalah matriks yang semua harga elemennya nol (0).

Determinan matriks. Pada setiap matriks persegi, mempunyai suatu harga determinan dan mempunyai sifat sebagai berikut ini:

a.       Jika dua buah baris atau dua kolom yang berurutan ditukar, maka harga determinan berubah tanda.

b.      Jika terdapat baris atau kolom yang hanya terdiri dari elemen nol (0), maka harga determinan adalah nol (0).

c.       Jika pada suatu elemen pada baris atau kolom tepat sama dengan k kali elemen – elemen baris atau kolom yang lain, maka harga semua determinan adalah nol (0).

d.      Jika pada suatu baris atau kolom ditambahkan suatu konstanta yang dikalikan dengan baris atau kolom yang lain, maka harga determinan tidak berubah sama sekali.

e.       Jika suatu determinan dikalikan dengan suatu konstanta, maka hanya satu baris atau kolom yang dikalikan dengan konstanta tersebut. Oleh karena itu determinan dari k kali matriks persegi A n x n sama dengan kⁿ kali determinan A atau

f.       Determinan dari hasil kali dua matriks A dan B sama dengan hasil kali determinan – determinannya, atau

 

Matriks singuler. Adalah matriks persegi yang disebut juga dengan matriks singuler. Di mana determinannya sama dengan nol (0). Pada matriks ini, semua baris atau kolom tidak saling bergantungan.

Matriks nonsinguler. Adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan nol (0).

Transpose. Jika baris dan kolom A n x m ditukar, maka m x n yang diperoleh disebut dengan transpose pada matriks A. Transpose matriks A dinyatakan dengan  A’ misalkan jika A diberikan sebagai berikut:

Maka A’ diberikan oleh

 

perhatikan bahwa (A’) = A

Matriks simetriks. Jika suatu matriks persegi A sama dengan transposenya , atau

A = A’

Maka matriks A disebut dengan matriks simetriks.

Matriks simetris miring adalah: Di mana matriks persegi A sama dengan negatif transposenya, atau

A = -A’

Maka matriks A disebut dengan matriks simetris miring.

Matriks konjungsi. Jika elmen kompleks A diganti dengan masing – masing konjngsinya, maka matriks yang diperoleh disebut konjungsi dari A. Konjungsi dari A dinyatakan dengan Ậ = (ả_ij), di mana ả_ij adalah konjungsi kompleks dari a_ij. Sebagai contoh, jka A diberikan sebagai

Maka:

Transpose konjungsi. Transpose konjungsi adalah konjungsi dari transpose suatu matriks. Jika diberikan matriks A, maka transpose konjungsinya dengan Ậ’ atau A*; jadi,

Ậ’ = A* = (ả_ij)

Sebagai contoh, jika A diberikan sebagai

 

Maka

Perhatikan bahwa

(A*)* = A

Jika A adalah suatu matriks nyata, (matriks yang elemennya merupakan bilangan nyata), maka transpose konjungsi A* adalah sama dengan transpose A’.

Matriks Hermitian adalah: Matriks yang elemennya merupakan besaran kompleks, dan disebut juga dengan matriks kompleks. Jika suatu matriks kompleks A memenuhi syarat hubungan:

A = A* atau a_ij = ả_ij

Contoh matriks Hermitian

Jika pada matriks Hermitian ditulis sebagai A = B + jC, di mana B dan C adalah matriks nyata, maka

B = B’ dan C = - C’

Pada contoh di atas,

Matriks Hermitian miring, jika pada matriks A memnuhi hubungan

A = - A*

Maka A disebut dengan matriks Hermitian miring. Contoh :

             

Jika pada matriks tersebut, A ditulis A = B +jC, di mana B dan C adalah matriks nyata, maka:

B = -B’ dan C = C’

 

Contoh:

C.  ALJABAR MATRIKS

Pada bab ini, akan di bahas mengenai aljabar matriks dan beberapa definisi – definisi tambahan. Perlu diingat juga bahwa beberapa operasi matriks  mengikuti aturan – aturan yang sama dengan aljabar biasa, tetapi juga ada beberapa operasi lain yang tidak mengikuti aturan yang sama dengan aljabar biasa.

Penjumlahan dan pengurangan matriks. Dua buah mariks A dan B bisa dijumlahkan jika kedua matriks tersebut mempunyai banyak baris dan kolom yang sama. Jika A =  (a_ij ) dan B (b_ij ), maka A + B  didefinisikan sebagai :

A + B = (a_ij  + b_ij )

Jadi, tiap elemen A ditambahkan dengan elemen B pasangannya. Dengan cara yang sama, pemasangan matriks didefinisikan sebagai:

A – B = (a_ij   -  b_ij )

Sebagai contoh tinjau

Maka A + B dan B – A diberikan oleh

 

Perkalian Matriks dan saklar. Hasil perkalian matriks dan saklar adalah suatu matriks yang tiap elemennya dikalikan dengan saklar tersebut; jadi, untuk matriks A dan saklar k

Perkalian matriks dan matriks. Perkalian matriks dengan matriks lain hanya dapat dilakukan dengan matriks yang conformable. Misalkan A adalah matriks n x m dan B adalah matriks m x p. Selanjutnya hasil perkalian AB, yang kita baca “A’’ dikatakan belakang dengan B” atau B” dikatakan di depan dengan “A’’.

Harus diperhatikan bahwa sekali pun A dan B dioperasikan untuk perkalian AB, bukan  berarti dapat diopersikan untuk perkalian BA tidak terdefinisi.

Hukum asosiatif dan distributif untuk perkalian matriks yaitu:

(AB)C = A(BC)

(A + B)C = AC + BC

C(A + B) = CA + CB

Jika AB = BA, maka A dan B komut. Perhatikan bahwa pada umunya AB ≠ BA. Untuk membuktikannya, tinjau

AB dan BA masing – masing diberikan contoh:

Jelaslah, AB ≠ BA. Sebagai contoh lain:

Kita peroleh:

Jelaslah AB ≠ BA.

                        Karena perkalian matriks pada umunya tidak komutatif, kita harus memperhatikan orde pada matriks saat mengalikan suatu matriks dengan matriks yang lain. Perkalian di depan atau di belakang menunjukkan bahwa matriks di kalikan dari kanan atau kiri.

Suatu contoh untuk kasus AB = BA di berikan di bawah ini:

AB dan BA diberikan oleh

Jelaslah, untuk kasus ini, A dan B adalah komut

Matriks berpangkat: Adalah persegi A pangkat k didefinisikan sebagai

A* = AA.....A

Perhatikan bahwa untuk matriks diagonal A = diag (a₁₁ a₁₂.........a_n)

Sifat – sifat lanjut dari matriks. Transpose dari A + B dan BA diberikan oleh                                               (A + B)’ = A’ + B’

(AB)’ = B’A’

Untuk membuktikan hubungan yang disebut belakangan: (i,j) dari AB adalah                                

Elemn ke (j,i) dari A’  B’ adalah

yang sama dengan elemen ke (j,i) dari AB atsu elemen ke (i,j) dari (AB)’ sehingga, (AB)’ = AB’, sebagai contoh:

 

 

Maka

jelaslah, (AB)’ =B’A’

Dengan cara yang sama, uuntuk transpose konjungsi dari A + B dan AB kita dapat:

(A + B)* = A* +B*

(AB)* = B*A*

Rank adalah suatu matriks A, dan dikatakan mempunyai “rank” m jika submatriks M m x m dari A, sehingga determinan dari M tidak berharga (0).

Sebagai contoh:

Salah satu submatriks terbesar yang determinannya tidak berharga nol (0) adalah sebagai berikut:

sehingga ‘’rank” dari matriks A adalah 3.

D.  PEMBALIKAN MATRIKS (MATRIKS INVERSION)

Pada bab ini membahas tentang matriks dan beberapa persoalan yang berkaitan dengannya.

Minor Mij. Jika baris i dan kolom j dari matriks A n x n dihilangkan, maka matriks yang dihasilkan adalah matriks (n - 1) x (n - 1). Determinan dari matriks (n – 1) x (n - 1).

Kofaktor A_ij dari elemen a_ij adalah (-1)^i+j kali determinan matriks yang dibentuk dengan menghilangkan baris ke i dan kolom ke j dari A.  Contoh:

 A_ij = (-1)^{i + j} M_ij

Jika

Karena determinan dari A dalam bentuk hal ini mempunyai dua baris yang identik. Contoh:  

Jika a_i1, a_i2 ..................,a_n diganti dengan a_j1, a_j2............a_in, maka:

a_j1 A_i1 + a_j2 A₁₂ +................. +a_jn A_in = 0 (i ≠ j)

Dengan cara yang sama:

Matriks adjoint. Matriks B dengan elemen pada baris ke i dan kolom ke j.

Contoh: B = (b_ij) = (A_ij) = adj A

Jadi pada matriks di atas dari A adalah transpose dari matriks yang elemennya adalah kofaktor dari A  atau:

 

 Elemen pada baris ke j dan kolom ke i adalah sebagai berikut:

 

Dari penjelasan di atas dapat di jabarkan sebagai berikut:

A(adj A) = |A| I

Dengan cara yang sama

 

Sehingga kita dapat hubungan:

A(adj A) = (adj A)A =|A| I

Contoh:

 

Dapat kita peroleh bahwa determinan A adalah 17 dan

 

Dengan demikian:

 

Matriks balik. Disebut matriks balik, karena matriks dar A ada jika determinan A tidak berharga nol (0). Contoh:

AA^-1 = A^-1 A = I

Dimana I adalah matriks identitas. Jika A adalah matriks nonsinguler dan AB = C, maka B = A^-1 C dapat dilihat dari persamaan di bawah ini:

A^-1 AB = IB = B = A^-1 C

Jika A dan B matriks nonsinguler, maka hasilkali AB adalah matriks nonsinguler.

Contoh:                                  (AB) ^-1 = B ^-1 A^-1  

Bukti dari persamaan di atas:

(B^-1 A^-1) = AB = B^-1 (A^-1A)B = B^-1IB = B^-1 B = I

Dengan cara yang sama:

(AB)(B^-1A^-1) = I

Perhatikan bahwa:

(A^-1) ^-1 =A

(A^-1)’ = (A’)^’-1

(A^-1)* = (A*)^-1

Dari persamaan (3.1) an definisi matriks balik, kita memperoleh:

A^-1 =

Jadi kebalikan dari suatu matriks transpose dari matriks kofaktornya, dibagi dengan determinan matriks asal. Jika A diberikan oleh:

 

Maka:

Sebagai contoh jika A diberikan oleh:

 

Maka adjoint dari A dan determinan |A| sebagai berikut:

 

Matriks balik dari A diberikan oleh:

 

Rumus untuk mencari matriks balik dengan matriks 2 x 2 dan matriks

3x 3. Untuk matriks A 2 x 2, di mana:

 

Matriks balik diberikan oleh:

 

Untuk matriks A 3 x 3, di mana:

 

Matriks balik diberikan oleh:

 

Catatan mengenai penghapusan matriks. Penghapusan matriks tidak berlaku dalam aljabar matriks. Tinjau hasilkali dari matriks singuler A dan B. Ambil, sebagai contoh:

 

Maka:

Jelas AB = 0 bukan berarti A = 0 atau B = 0. Mempunyai arti salah satu di antara tiga pernyataan berikut:

1.      A = 0

2.      B = 0

3.      A dan B keduanya singuler

Sebagai bukti, anggap bahwa jika A dan B nonsinguler, maka ada matriks dengan A^-1 dengan sifat:

A^-1AB = B = 0

Jika A adalah mariks nonsinguler, maka untuk AB =AC berarti B = C dan untuk BA = CA juga berarti B = C.

E.   DIFERENSIAL DAN INTEGRITAS MATRIKS

Turunan matriks A(t) n x m didefinisikan sebagai matriks yang tiap elemennya merupakan turunan dari elemen matriks asal, dengan syarat senua elemen a_ij (t) mempunyai turunan terhadap t. Jadi:

 

Dengan cara yang sama, integral matriks A (t) n x m didefinisikan sebagai berikut: 

 

                             Diferensial hasilkali dua buah matriks. Jika matriks A(t) dan B (t) dapat didefernsialkan terhadap t, maka:

            Diferensial A^-1. Jika suatu matriks A(t) dan matriks baliknya A^-1 (t) dapat diferensialkan terhadap t, maka turunan A^-1 diberikan oleh:

Hasil ini dapat diperoleh dengan mendefinisikan A (t)^-1 terhadap t, karena:

Dan

Maka kita peroleh

Atau